sexta-feira, 29 de agosto de 2008

Como surgiu a Fórmula de Bhaskara?

Bhaskara foi um matemático, professor, astrólogo e astrônomo indiano nascido em Vijayapura (1114-1185), Índia, o mais importante matemático do século XII e último matemático medieval importante da Índia. Filho de um astrólogo famoso chamado Mahesvara, tornou-se conhecido pela complementação da obra do conterrâneo Brahmagupta, por exemplo dando pioneiramente a solução geral da conhecida equação de Pell* e a solução do problema da divisão por zero, ao afirmar também pioneiramente, em sua publicação Vija-Ganita ou Bijaganita, um trabalho em 12 capítulos, que tal quociente seria infinito. Tornou-se chefe do observatório astronômico a Ujjain, cidade onde ficou até morrer e o principal centro matemático da Índia na sua época, fama desenvolvida por excelentes matemáticos como Varahamihira e Brahmagupta que ali tinham trabalhado e construído uma escola forte de astronomia matemática. Sua obra representou a culminação de contribuições hindus anteriores. Seis trabalhos seus são conhecidos e um sétimo trabalho reivindicado para ele é por muitos historiadores para ser uma falsificação posterior.

Os seis comprovados são Lilavati, Bijaganita, Siddhantasiromani, Vasanabhasya of Mitaksara, Karanakutuhala ou Brahmatulya e Vivarana Em Siddhantasiromani, dois volumes sobre trigonometria e matemática aplicada à astronomia, apresentou as expressões sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b e sen(a - b) = sen a cos b - cos a sen b.

Ø Siddhantasiromani, dedicado a assuntos astronômicos é dividido em duas partes:

· Goladhyaya ( Esfera Celeste );

· Granaganita ( Matemática dos Planetas );

Ø Bijaganita que é um livro sobre Álgebra [ os indianos foram os pais da Álgebra e a chamavam de Outra (= Bija ) Matemática ( = Ganita), pois nasceu depois da matemática tradicional que dedicava-se aos cálculos aritméticos e geométricos ].
Bhaskara gasta a maior parte desse livro mostrando como resolver equações . Embora não traga nenhuma novidade quanto à resolução das equações determinadas, ele traz muitos novos e importantes resultados sobre as indeterminadas. Para os matemáticos, é exatamente nas suas descobertas em equações indeterminadas que reside sua importância histórica.


Seu tratado mais conhecido é Lilavati (1150), nome de uma sua filha, um livro com numerosos problemas sobre equações lineares e quadráticas, tanto determinadas como indeterminadas, mensurações lineares e de áreas e volumes, progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríades pitagóricas e outros. Por exemplo, mostrou a solução para as equações indeterminadas considerando o problema da divisão por zero e a demonstração de forma simplificada do teorema de Pitágoras, além de apresentar tabelas de senos com intervalos de um grau. Definiu valores para p da seguinte forma: 3927/1250 para cálculos acurados, 22/7 para aproximações e raiz quadrada de 10 para exercícios corriqueiros.

Conta a história que “quando Lilavati nasceu, Bhaskara consultou as estrelas e verificou, pela disposição dos astros, que sua filha, condenada a permanecer solteira toda a vida, ficaria esquecida pelo amor dos jovens patrícios. Não se conformou Bhaskara com essa determinação do Destino e recorreu aos ensinamentos dos astrólogos mais famosos do tempo. Como fazer para que a graciosa Lilavati pudesse obter marido, sendo feliz no casamento? Um astrólogo, consultado por Bhaskara, aconselhou-a a casar Lilavati com o primeiro pretendente que aparecesse, mas demonstrou que a única hora propícia para a cerimônia do enlace seria marcada, em certo dia, pelo cilindro do Tempo.

Os hindus mediam, calculavam e determinavam as horas do dia com o auxílio de um cilindro colocado num vaso cheio d'água. Esse cilindro, aberto apenas em cima, apresentava um pequeno orifício no centro da superfície da base. À proporção que a água, entrando pelo orifício da base, invadia lentamente o cilindro, este afundava no vaso e de tal modo que chegava a desaparecer por completo em hora previamente determinada.

Lilavati foi, afinal, com agradável surpresa, pedida em casamento por um jovem rico e de boa casta. Fixado o dia e marcada a hora, reuniram-se os amigos para assistir à cerimonia.

Bhaskara colocou o cilindro das horas e aguardou que a água chegasse ao nível marcado. A noiva, levada por irreprimível curiosidade, verdadeiramente feminina, quis observar a subida da água no cilindro. Aproximou-se para acompanhar a determinação do Tempo. Uma das pérolas de seu vestido desprendeu-se e caiu no interior do vaso. Por uma fatalidade, a pérola levada pela água foi obstruir o pequeno orifício do cilindro, impedindo que nele pudesse entrar a água do vaso. O noivo e os convidados esperaram com paciência largo período de tempo. Passou-se a hora propícia sem que o cilindro indicasse o tempo como previra o sábio astrólogo. O noivo e os convidados retiraram-se para que fosse fixado, depois de consultados os astros, outro dia para o casamento. O jovem brâmane, que pedira Lilavati em casamento, desapareceu semanas depois e a filha de Bhaskara ficou para sempre solteira.

Reconheceu o sábio geômetra que é inútil contra o Destino e disse à sua filha:

-- Escreverei um livro que perpetuará o teu nome e ficarás na lembrança dos homens mais do que viveriam os filhos que viessem a nascer do teu malogrado casamento."

O livro Lilavati, na verdade, é a quarta parte do livro Siddhanta Siroman. Enquanto Lilavati (A Bela) trata de aritmética, as outras três partes são Bijaganita (Contagem de sementes), álgebra, Grahaganita, sobre Matemática planetária e Goladhyaya, sobre o globo celeste.

O Lilavati é escrito em 278 versos e trata de vários assuntos: tabelas, o sistema de numeração, as oito operações, frações, zero, regra de três, regra de três composta, mistura, porcentagens, progressões, geometria, medidas, pilhas, problemas geométricos de sombras, modificação da Kuttaka (a equação ax+c=by), da varga prakrit (a equação nx^2 + 1 = y^2, com n inteiro positivo, também conhecida como equação de Pell) e permutações. (apud Siddhanta Siroman, acedido em 00/11/15)

A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher ( a tradução é Graciosa ), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética.

Equações INDETERMINADAS ou diofantinas:

Chamamos assim às equações ( polinomiais e de coeficientes inteiros ) com infinitas soluções inteiras, como é o caso de:

v y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções , qualquer que seja o valor de a

v a famosa equação de Pell x2 = N y2 + 1

Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso introduzindo o método do chakravala ( ou pulverizador ).

Bhaskara nem sabia o que é uma fórmula, já que estas surgiram 400 anos após a sua morte.

Naquela época, como eram resolvidas as equações ?
Usando REGRAS !

Chamamos de regra à uma descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema, por exemplo uma equação. Na época de Bhaskara essas regras, tipicamente, tinham a forma de poesias que iam descrevendo as operações a realizar para resolver o problema.
A partir de Aryabhata 500 d.C., e possivelmente muito antes, os indianos já usavam várias regras para resolver equações do segundo grau. Entre essas, destacamos a seguinte que tem uma formulação muito próxima do procedimento que hoje usamos:

EXEMPLO:
Para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra:

"multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso"

É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver :

x2 = px + q e x2 + px = q.

Foi só na Era das Fórmulas, inaugurada com a Logística Speciosa de François Viète c. 1 600 d.C., que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um grau dado.

Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida formula de resolução da equação do 2ºgrau.

Um problema de aritmética do livro Lilavati

“A quinta parte de um enxame de abelhas pousou numa flor de Kadamba, a terça parte numa flor de Silinda, o triplo da diferença entre estes dois números, voa sobre uma flor de Krutaja. E uma abelha sozinha, no ar, atraída pelo perfume de um jasmim e de um pandnus.


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33 comentários:

Gustavo disse...

Preciso saber a origem da fórmula: Δ=b²-4ac

Anônimo disse...

gostaria de ver como se xega na formula completa. ou seja seu demonstração enclusive como encontar o a fornula do delta

Anônimo disse...

nao consegui entender nada dessa porra!!!!

Anônimo disse...

Odeio esse viado do bhaskara porraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa vsf _|_

Anônimo disse...

Adoro a formula da baskara so ainda nem seii como resolve esse prloblema mais a baskara ta mudando a minha vida Eu adoro a baska

Anônimo disse...

eu odeio a bhaskará cara pra k enventar isso!
isso não serve pra nada apenas para complikar a vida dos outros!

Anônimo disse...

Eu to na 8ª série e to estudando isso...não tem nada a ver é complicado demais...mais é fácil e legal.A-DO-RO
bgs

Victoria disse...

áaaa, odeio esse fdptá, por qe ele teve que inventar essa meerda ? .l. // Vai pra puta que pariu ¬¬º

julia cristina disse...

eu achei meu trabalho aqui.
a formola de bhaskara e muito interessante várias pessoas acham dificis mais eu gostei, estou na 8 serie e adoro matematica.

Anônimo disse...

adorei o baskara estou no 9 ano e estou adorando ainda bem que ele inventou isso

Anônimo disse...

eu gostaria de saber como a fórmula de Báskara Δ=b²-4ac
saiu da expressão ax²+bx+c.

Anônimo disse...

ai emuito chaaaaato isso:::e e pq eu gosto d matematica

zee_leandro disse...

Nossa to na 8° e não estudei isso mas acho que é muito chato , matemática é chato

Anônimo disse...

gostei do site mas uma perguntinha pra vc vc quer se masturbar comigo?????????????

Anônimo disse...

eu gosto de bhaskara mais... esse site só precisa de mais demostração e menos texto queremos imagensde como resover tendeu!!! :p :o ;I

Anônimo disse...

Nossa amei muito a fórmula de Bhaskara.. Eu amo matemática, e achei bem fácil de ser resolvida essa expressão... Só que eu não entendi como foi que surgiu a fórmula ;s de onde ela saiu? quando Bhaskara percebeu que a fórmula pode ser feita ? Obrigada pela atenção, e, você que postou se a pessoa não quer se mastubar com você, vai pro redtube que aqui é uma página dde estudos (:

Anônimo disse...

É fácil basta pcr entender!OK

Anônimo disse...

Foi um matemático,professor,astrologo e astrônomo q era indiano q fez a formula e o nome báskara é por causa do sobrenome do cara.Depois q conheçe a htr fica fácil ñ é

André Victor Sales disse...

e muinto facil bhaskara

Aninha disse...

se esse cara fosse vivo ia me ajudar a entender as contas por que minha professora não ta dando conta!!*-*

Gah Bertuoli disse...

Acho incrível como toda matemática estava/está interligada a astronomia e astrologia.
Simplesmente fantástico.

Anônimo disse...

Eu Preciso Saber Á órigem Da Formúla

rendiexame1961.com.br disse...

Olá amigos.

Ao visitar este blog de Matemática Avançada percebi que as pessoas querem saber como a Fórmula de Bháscara foi criada. Essa pergunta não tem resposta, mas, temos uma pesquisa onde demonstramos a criação dessa Fórmula tão complexa. Se a nossa demonstração é a mesma de Bháscara não podemos afirmar, seríamos pretenciosos!

Tese:
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨

Divida a aresta de um quadrado em "n" partes iguais e escolha a quantidade de divisórias para representar a incógnita (b) e escolha outra quantidade de divisórias para representar o valor da incógnita (x). O valor que escolhemos para x multiplicamos por 2. Em seguida, escolhemos um número diferente de zero (0) para representar o valor da incógnita (a) e multiplique pelo produto das divisórias de x, formando assim, a Aresta de Delta. Elevamos esse valor ao quadrado, assim, chegaremos à Área de Delta.

A fórmação da Aresta de Delta é igual a criação da Fórmula de Bháscara, ok?

Para você compreender vou deixar um exemplo:

Formação da aresta de Delta:
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨

6 divisórias da aresta = b
4 divisórias da aresta = x
multiplique (x) por 2.
3 é o valor de (a) (para esta situação).

Formação da aresta de Delta:
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨

4+4+4+4+4+4 = 24 (divisórias de x).

24 + 6 = 30

A Aresta de Delta ficou dividida em 30 partes iguais.


30 elevado ao quadrado = Delta.

Talvez seja complicado explicarmos a Fórmula de Bháscara sem a representação do Gráfico, mas, é muito simples compreender a sua criação, ok?

Conheça as duas formas de encontrarmos o valor de Delta:

¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨2
1) Delta = (6) - 4*3 (-72)
Delta = 900

¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨2
2) Delta = (2*4*3+6)
Delta = 900

Fórmula de Bháscara:
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨____
4 = -6+ou- \/ 900
....¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨2*3

Trocando os valores pelas incógnitas, veja:
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨______
x = -b+ou- \/ Delta
¨...¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨2a

Se os amigos não entenderam a explicação entre em contato.

edi.exemplo@hotmail.com

tel: (011) 4067:4304

edinho silva.
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨

Compartilhando conhecimentos em Matemática Avançada.

rendiexame1961.com.br disse...

Olá amigos.

Ao visitar este blog de Matemática Avançada percebi que as pessoas querem saber como a Fórmula de Bháscara foi criada. Essa pergunta não tem resposta, mas, temos uma pesquisa onde demonstramos a criação dessa Fórmula tão complexa. Se a nossa demonstração é a mesma de Bháscara não podemos afirmar, seríamos pretenciosos!

Tese:
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨

Divida a aresta de um quadrado em "n" partes iguais e escolha a quantidade de divisórias para representar a incógnita (b) e escolha outra quantidade de divisórias para representar o valor da incógnita (x). O valor que escolhemos para x multiplicamos por 2. Em seguida, escolhemos um número diferente de zero (0) para representar o valor da incógnita (a) e multiplique pelo produto das divisórias de x, formando assim, a Aresta de Delta. Elevamos esse valor ao quadrado, assim, chegaremos à Área de Delta.

A fórmação da Aresta de Delta é igual a criação da Fórmula de Bháscara, ok?

Para você compreender vou deixar um exemplo:

Formação da aresta de Delta:
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨

6 divisórias da aresta = b
4 divisórias da aresta = x
multiplique (x) por 2.
3 é o valor de (a) (para esta situação).

Formação da aresta de Delta:
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨

4+4+4+4+4+4 = 24 (divisórias de x).

24 + 6 = 30

A Aresta de Delta ficou dividida em 30 partes iguais.


30 elevado ao quadrado = Delta.

Talvez seja complicado explicarmos a Fórmula de Bháscara sem a representação do Gráfico, mas, é muito simples compreender a sua criação, ok?

Conheça as duas formas de encontrarmos o valor de Delta:

¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨2
1) Delta = (6) - 4*3 (-72)
Delta = 900

¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨2
2) Delta = (2*4*3+6)
Delta = 900

Fórmula de Bháscara:
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨____
4 = -6+ou- \/ 900
....¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨2*3

Trocando os valores pelas incógnitas, veja:
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨______
x = -b+ou- \/ Delta
¨...¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨2a

Se os amigos não entenderam a explicação entre em contato.

edi.exemplo@hotmail.com

tel: (011) 4067:4304

edinho silva.
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Anônimo disse...

vao c fuderrrr odeio matematica.hahahahahahahaha nd ave fdp

Anônimo disse...

matematicos sao tudo filha da puta
niguem quer saber matematica loko

Anônimo disse...

fodaaaaaaa seeeeeeeeeeeee.....
matematica ....ass fatynha ..e luis

Anônimo disse...

e por isso que no brazil so tem borro naõ saben nadar de Eduksão

Anônimo disse...

quem e vc meu beim nao sabe nem escrever i que chamar os matematicos di burro vai pra merda meu beim

Anônimo disse...

esse povo e burro pra caralho nao sabe nem escrever i que vim da um di pa aqui sem ser vai toma no cu filho da puta volta pra primeira serie porra vai da o cu seus ridiculos horriveis ridiculos fato vai pro consumado meu bbeiim ai #ficaadica! soo qee naoo

Anônimo disse...

bjoos linddos nao goosto doo bhaaskara ele me feiz fazer um trabalhoo enormee pra o gay doo meu professor euu escrevi uuma paar di ccoiisaa nao aguento mais oo gaspar eu too suussu esse ee meeu ultimoo anoo naquela escolaa graaças a deeus bjokas amores meu

Lucas Henrique disse...

Cada comentário bobo! Pode não gostar de matemática, mas Bhaskara foi legal! :P

Anônimo disse...

Um povo ignorante é instrumento cego da sua propria destruiçao